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Pierre Eymard

Autour du nombre Pi

Le nombre Pi occupe depuis 2.500 ans une position centrale dans l'histoire des mathématiques. Il revient très à la mode par la recherche d'algorithmes de plus en plus performants pour le calcul des décimales. 

Notre intention a été d'écrire, autour" du nombre Pi, un ouvrage de niveau universitaire, donc susceptible d'être utile aux étudiants des Facultés des Sciences, aux élèves des Classes préparatoires et aux professeurs de mathématiques. De plus, par sa nature encyclopédique et fondamentale, le sujet pourrait intéresser tout lecteur ayant reçu une formation, même ancienne, à ce niveau. 

Un examen de la table des matières montre qu'il s'agit d'un thème transversal par rapport aux cursus mathématiques enseignés classiquement dans les quatre premières années d'université. C'est donc pour le lecteur l'occasion d'apprendre, de réviser et de réfléchir à long terme sur des notions intervenant dans ces programmes en suivant le fil directeur de ce nombre privilégié. 

Le déroulement des cinq premiers chapitres suit un ordre plus ou moins historique, mais nous nous sommes attachés au sens mathématique profond plus qu'à l'aspect anecdotique. Par conséquent la plupart des résultats sont démontrés dans le corps du texte, sauf à la fin du chapitre 5. De plus nous proposons une centaine d'exercices, à faire au fur et à mesure de la lecture; leurs solutions sont rassemblées dans un ultime chapitre 6. Ainsi avons-nous fait le choix pédagogique de suivre à peu près l'ordre chronologique des découvertes sur Pi ; il en résulte un niveau de lecture variable, de difficulté croissante: on pourrait dire en gros que, pour n < 5, le chapitre n est au niveau Bac + n. Prévenons néanmoins le lecteur que le niveau mathématique augmente très sensiblement au chapitre 5. 

Mais ce livre voudrait être aussi un témoignage d'admiration pour ces très grands mathématiciens du passé qui se sont penchés sur ce nombre Pi à la fois si naturel et si mystérieux: Archimède et les mathématiciens de la Grèce antique, ceux de la Renaissance, Euler et ses innombrables travaux, Gauss, princeps mathematicorum, spécialiste de la cyclotomie et souvent très en avance sur son temps, Abel et Jacobi, créateurs des fondements de la théorie des fonctions elliptiques, Hermite, à l'origine de la démonstration par Lindenann de la transcendance de Pi, Ramanujan, dont les formules inattendues suscitent toujours l'intérêt des spécialistes actuels. 

Nous remercions vivement M.Mignotte, G.Tenenbaum et M.Zisman pour leurs précieuses remarques.

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